Semana 3 - Aula 11 - Cálculo I - Continuidade 2 - Teoremas Básicos

Continuidade 2: Teoremas Básicos

Teorema do Valor Intermediário
Teorema do Ponto Fixo.
Teorema do Máximo para funções contínuas.
Contraexemplos

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Exercicio 1 - vídeo aula 11


Use o Teorema do Valor Intermediário para mostrar que existe uma raiz da equação

lnx=e −x   em um intervalo I=(a,b)  .

Encontre I  de tal forma que o intervalo tenha tamanho 1, isto é b–a=1  . Mostre que a 

raiz é única. Justifique.

Sabemos que se lnx e e −x   são funções contínuas, então a função f(x)=lnx−e −x  


também é contínua (com Dom(f)=(0;+∞) 

Temos que:

f(1)=ln1−e −1 =−1e <0 e                 f(2)=ln2−e −2 =1e 2  >0 
 
Portanto, pelo teorema do valor intermediário, como f(x)  é contínua em [1;2]  , então existe

c∈(1;2)|f(c)=0  , ou seja,   lnc=e −c   , onde c  é a raíz da equação.


Além disso, o tamanho do intervalo 
I  é 2-1=1.

Temos ainda que lnx  é estritamente crescente em (0;+∞)  e  e −x   é estritamente decrescente em (0;+∞) 

Dessa forma, se x>c  , então:

(1) – lnx>lnc 
 
(2) – e −x <e −c  
 
Se multiplicarmos (2) por -1 e somarmos a (1) obtemos: lnx−e −x >lnc−e −c =0. 

Portanto, se x>c  , então lnx−e −x >0 

Da mesma forma, utilizando o mesmo raciocínio acima, se x<c⇒lnx−e −x <0 

Assim, a única raíz possível é c∈(1,2)