sábado, 22 de novembro de 2014

Semana 3 - Aula 10 - Cálculo I - Continuidade 1 - Conceito e Definição


Continuidade 1 - Conceito e Definição

 Definição formal. Definição por sequências.
Propriedades, exemplos e contraexemplos (funções descontínuas).
Continuidade à direita e à esquerda.
Limites de Funções Contínuas. 
Teorema e contraexemplos.

 --------------------------------------------------------------------

 Exercício 1 - Vídeo Aula 10
Mostre que a função f é descontínua no ponto a=1, e explique porque:


a)  f(x)=\left\{\begin{array}{rl}\frac{x^2-x}{x^2-1}&\mbox{ se }x\neq 1\\1&\mbox{ se }x=1\end{array}\right.
A função f será contínua no ponto a=1 se \left\{\begin{array}{rl}\mbox{ existir }&\displaystyle\lim_{x\to 1}f(x) \mbox{ e}\\\displaystyle\lim_{x\to 1}f(x)&=f(1)\end{array}\right. . 


Temos que \displaystyle\lim_{x\to 1}f(x)=\displaystyle\lim_{x\to 1}\frac{x^2-x}{x^2-1}=\frac{1}{2}\neq f(1)=1. 


Portanto, f é descontínua em  a=1.


--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------


b) f(x)=\left\{\begin{array}{rl}\frac{x-1}{|x-1|}&\mbox{ se }x\neq 1\\1&\mbox{ se }x=1\end{array}\right.
A função f será contínua no ponto a=1 se \left\{\begin{array}{rl}\mbox{ existir }&\displaystyle\lim_{x\to 1}f(x)\mbox{ e}\\\displaystyle\lim_{x\to 1}f(x)&=f(1)\end{array}\right. . 


Temos que, se x\to 1^+, então x>1 e se x\to 1^-, então x<1. 

Dessa forma, \displaystyle\lim_{x\to 1^+}\frac{x-1}{|x-1|}=1 \mbox{ e }\displaystyle\lim_{x\to 1^-}\frac{x-1}{|x-1|}=-1. 


Como os limites laterais são diferentes, então não existe limite e, 

portanto, f é descontínua em   a=1.

 --------------------------------------------------------------------
Postado por às

Nenhum comentário:

Postar um comentário

Assinar: Postar comentários (Atom)