Engenharia Univesp - Segundo Bimestre - 2014: Semana 1 - Aula 3 - Cálculo I - Funções II - Operações com Funções

sábado, 22 de novembro de 2014

Semana 1 - Aula 3 - Cálculo I - Funções II - Operações com Funções

Funções 2

Operações com funções
Operações Aritméticas Elementares
Funções Racionais
Composição de Funções (Funções Compostas)
Funções Inversas

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Exercício Video aula 3

1. Sejam as funções dadas pelas fórmulas:

$f(x)=\dfrac{x-1}{x+1} \mbox{ e } g(x)=\sqrt{x}$

a) Calcule a fórmula das funções:

$h_1(x)=(g\circ f)(x) \mbox{ e } h_2(x)=(f\circ g)(x)$

$h_1(x)=g(f(x))=\sqrt{\dfrac{x-1}{x+1}}$ e $h_2(x)=f(g(x))=\dfrac{\sqrt{x}-1}{\sqrt{x}+1}$

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b) Calcule: $Dom(f), Dom(g), Dom(h_1), Dom(h_2)$

Em $f(x)$ temos uma divisão por 0 se $x=-1$ , logo:

A função $g(x)$ só está definida em $\mathbb{R}$ para valores positivos de $x$ , portanto:

Para determinar $Dom(h_1)$ devemos determinar os pontos onde $f(x)$ é positiva, uma vez que $g(x)$ só está definida para valores positivos.

Analisando o numerador e o denominador de $f(x)$

Seja $f_1(x)=x-1 \mbox{ e } f_2(x)=x+1$ , então:

$f_1(x)\ge 0\Rightarrow x\ge 1, \mbox{ } f_2(x) >0\Rightarrow x>-1$ , ( $f_2(x)\ne0$

$f_1(x)< 0\Rightarrow x< 1, \mbox{ } f_2(x) <0\Rightarrow x<-1$

É possível verificar, respectivamente, em (1) e (2) que $f_1(x),f_2(x)$ são simultaneamente positivas

quando $x\ge 1$ e simultaneamente negativas quando $x<-1$ .

Portanto, o $Dom(h_1) =\{x\in \mathbb{R}|x\ge 1\mbox{ ou } x< -1\}$

Da mesma forma que $g(x)$ , $h_2(x)$ é definida apenas para valores positivos de $x$ , logo:

$Dom(h_2)=\{x\in \mathbb{R}|x\ge 0\}$

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