sábado, 22 de novembro de 2014

Semana 3 - Aula 9 - Cálculo I - Limite 5 - Somas e séries numéricas


Limite 5 - Somas e séries numéricas


Limites de Séries Numéricas.
Fórmulas de Somas Finitas. Exemplos importantes para cálculo de limites de sequências.
Séries Numéricas. 
Convergência como limite das Somas Parciais Finitas. Exemplos.

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 Exercício 1 - vídeo aula 9

 Determine se a soma é convergente ou divergente. Se for convergente, calcule a soma:

 a)   S= \displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}\left(\dfrac{1}{\sqrt{n}}-\dfrac{1}{\sqrt{n+1}}\right)


  S= \displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}\left(\dfrac{1}{\sqrt{n}}-\dfrac{1}{\sqrt{n+1}}\right) =\displaystyle\lim_{k\to \infty}\displaystyle\sum_{n=1}^{k}\left(\dfrac{1}{\sqrt{n}}-\dfrac{1}{\sqrt{n+1}}\right) \Rightarrow
\displaystyle\lim_{k\to \infty}\displaystyle\sum_{n=1}^{k}\left(\dfrac{1}{\sqrt{n}}-\dfrac{1}{\sqrt{n+1}}\right)=\dfrac{1}{\sqrt{1}}-\dfrac{1}{\sqrt{2}}+\dfrac{1}{\sqrt{2}}-\cdots-\dfrac{1}{\sqrt{k}}+\dfrac{1}{\sqrt{k}}-\dfrac{1}{\sqrt{k+1}}


É possível notar que os termos da série, com exceção do primeiro e último, anulam-se dois a dois.


 Dessa forma, podemos escrever a série da seguinte forma:
\displaystyle\lim_{k\to \infty}\displaystyle\sum_{n=1}^{k}\left(\dfrac{1}{\sqrt{n}}-\dfrac{1}{\sqrt{n+1}}\right)=\dfrac{1}{\sqrt{1}}-\dfrac{1}{\sqrt{k+1}}=1+\displaystyle\lim_{k\to \infty}\dfrac{1}{k+1}=1


Portanto, a série converge e tem soma igual a 1.

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 b)   S= \displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}\mathrm{ln}\left(\dfrac{n^2+1}{2n^2+1}\right)


O teste da convergência nos diz que se    \displaystyle\lim_{n\to\infty} a_n\neq 0\Rightarrow \mbox{ divergente }.

Caso contrário, se    \displaystyle\lim_{n\to\infty} a_n= 0, então nada podemos afirmar. 

Aplicando o teste à série, vemos que:


\displaystyle\lim_{n\to\infty}\mathrm{ln}\left(\dfrac{n^2+1}{2n^2+1}\right)=\mathrm{ln}\displaystyle\lim_{n\to\infty}\left(\dfrac{n^2+1}{2n^2+1}\right)=\dfrac{1}{2}\neq 0.

Portanto, a série diverge.

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Postado por às

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