sábado, 22 de novembro de 2014

Semana 2 - Aula 6 - Cálculo I - Cálculo de Limites de Funções


Cálculo de Limites de Funções:

 Formas Indeterminadas
Definição de Limites Infinitos e de Limites no Infinito
Assíntotas Verticais e Horizontais
Limites de Funções Racionais
Cálculo de Limites de Funções Racionais e Formas Indeterminadas
Assíntotas Oblíquas. Exemplos com gráficos
Exercício 2 - Vídeo aula 6
Calcule os limites:


 a)  \displaystyle\lim_{x \to 1} \dfrac{\mathrm{sen\sqrt{3(1-x^2)}}}{\sqrt{1-x^2}}


Fazendo uma mudança de variável, onde u= \sqrt{1-x^2}, \mbox{ se } x\to 1, \mbox { logo } u\to 0. Assim:

\displaystyle\lim_{x \to 1} \dfrac{\mathrm{sen\sqrt{3(1-x^2)}}}{\sqrt{1-x^2}} = \displaystyle\lim_{u \to 0} \dfrac{\mathrm{sen}(\sqrt{3}\cdot u)}{u} =\displaystyle\lim_{u \to 0} \dfrac{\sqrt{3}\cdot \mathrm{sen}(\sqrt{3}\cdot u)}{\sqrt{3}\cdot u}= \sqrt{3}\cdot \displaystyle\lim_{u \to 0} \dfrac{\mathrm{sen}(\sqrt{3}\cdot u)}{\sqrt{3}\cdot u}.
Como \displaystyle\lim_{u \to 0} \dfrac{\mathrm{sen}(\sqrt{3}\cdot u)}{\sqrt{3}\cdot u}=1 , então:


\displaystyle\lim_{x \to 1} \dfrac{\mathrm{sen\sqrt{3(1-x^2)}}}{\sqrt{1-x^2}}=\sqrt{3}\cdot 1=\sqrt{3}


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b)   \displaystyle\lim_{x \to -\infty} \mathrm{arctan}(\mathrm{ln}\sqrt{1-x})


Fazendo uma mudança de variável apropriada, onde u= 1-x, \mbox{ se } x\to -\infty, \mbox { logo } u\to +\infty.

Assim, \displaystyle\lim_{x \to -\infty} \mathrm{arctan}(\mathrm{ln}\sqrt{1-x})= \displaystyle\lim_{u \to +\infty} \mathrm{arctan}(\mathrm{ln}\sqrt{u}).

A função \mathrm{arctan} é inversa da função \mathrm{tan}: (\frac{-\pi}{2}, \frac{\pi}{2})\rightarrow \mathrm{R} .

Portanto, \displaystyle\lim_{x \to -\infty} \mathrm{arctan}(\mathrm{ln}\sqrt{1-x})=\displaystyle\lim_{u \to +\infty} \mathrm{arctan}(\mathrm{ln}\sqrt{u})=\dfrac{\pi}{2}



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